ประพจน์ที่สมมูลกันและประพจน์ที่เป็นนิเสธ

	ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∧ q	สมมูลกับ	q ∧ p
	p ∨ q	สมมูลกับ	q ∨ p
	(p ∧ q) ∧ r	สมมูลกับ	p ∧ (q ∧ r)
	(p ∨ q) ∨ r	สมมูลกับ	p ∨ (q ∨ r)
	p ∧ (q ∨ r)	สมมูลกับ	(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
	p ∨ (q ∧ r)	สมมูลกับ	(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
	p → q	สมมูลกับ	~p ∨ q
	p → q	สมมูลกับ	~q → ~p
	p ⇔ q	สมมูลกับ	(p → q) ∧ (q → p)
	ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	~(p ∧ q)	สมมูลกับ	~p ∨ ~q
	~(p ∨ q)	สมมูลกับ	~p ∧ ~q
	~(p → q)	สมมูลกับ	p ∧ ~q
	~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
	~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)
	พิสูจน์
	จะเห็นว่า p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
	~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q

การเขียนแผนภาพแทนเซต

• การเขียนแผนภาพแทนเซต
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)

• ยูเนียน (Union)
บทนิยาม		เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A ∪ B = {1,2,3,4,5}

• อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม		เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A ∩ B = {3}

• คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม		ถ้า เซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'
ตัวอย่างเช่น		U = {1,2,3,4,5}
		A ={1,2,3}
	∴	A' = {4,5}

• ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม		ถ้า เซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B
ตัวอย่างเช่น		A ={1,2,3}
		B= {3,4,5}
	∴	A - B = {1,2}

หน้าแรก | เซต | ตรรกศาสตร์ | ความสัมพันธ์ | ฟังก์ชัน | ระบบจำนวนจริง | เรขาคณิตวิเครา

สับเซตและพาวเวอร์เซต

สับเซต

บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B

ตัวอย่างที่ 1		A = {1, 2, 3}
		B = { 1, 2, 3, 4, 5}
	∴	A ⊂ B

ตัวอย่างที่ 2		C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}
		D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}
	∴	C D

ตัวอย่างที่ 3		E = { 0,1,2 }
		F = { 2,1,0 }
	∴	E ⊂ F และ F ⊂ E

จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F

สับเซตแท้	เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต	ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต

• เพาเวอร์เซต

บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

ตัวอย่างที่ 1		A = Ø
		สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
	∴	P(A) = {Ø }

ตัวอย่างที่ 2		B = {1}
		สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
	∴	P(B) = {Ø, {1} }

ตัวอย่างที่ 3		C = {1,2}
		สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
	∴	P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

เซต (Set)

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ

หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก

สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

• การเขียนเซต
	การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
	1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}
			B = { a, e, i, o, u}
			C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
		ตัวอย่างเช่น		A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
				B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
				C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

	สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
	I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ	Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
	I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก	Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
	I แทนเซตของจำนวนเต็ม	Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
	N แทนเซตของจำนวนนับ	R แทนเซตของจำนวนจริง

• เซตจำกัด
	บทนิยาม	เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}	มีสมาชิก 5 สมาชิก
			B = { a, e, i, o, u}	มีสมาชิก 5 สมาชิก

• เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

• เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่่น		A = {1, 2, 3, 4, 5}
		B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
	∴	A = B

• เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่่น	A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}	∴ A = Ø
	B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }	∴ ฺB = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

• เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่่น		ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
		U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	หรือ	U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

การหารลงตัว
	บทนิยาม	กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
	ตัวอย่างเช่น	3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n
		-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
		6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
	ทฤษฎีบทที่ 1	กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
	ทฤษฎีบทที่ 2	กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
	ทฤษฎีบทที่ 3	กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
	บทนิยาม	จำนวน เต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
	นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
	ตัวอย่างเช่น
	จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
	ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้                      a = bq + r เมื่อ 0 r |b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
	ตัวอย่างที่ 1	กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
		เขียนให้อยู่ในรูป	a = bq + r
			48 = 7 × 6 +6
		∴	q = 6 และ r = 6
• ตัวหารร่วม
	ตัวหารร่วม
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c      ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
	ตัวหารร่วมมาก
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
	วิธีทำ	ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
		ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
	∴	ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
	∴	ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
		นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
	วิธีทำ
	ในที่นี้ rk = 12      ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
	ตัวคูณร่วมน้อย
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
	วิธีทำ	พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
	∴	พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
	∴	พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
		พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
		นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

สมการเส้นตรง

1. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x

กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน y และกำหนดให้เส้นตรง L ตัดแกน y ที่จุด (0, b)

ถ้า b > 0 เส้นตรง L จะอยู่เหนือแกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย

ถ้า b = 0 เส้นตรง L จะทับแกน x

ถ้า b < 0 เส้นตรง L จะอยู่ใต้แกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย

สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x คือ y = b

ตัวอย่างเช่น

(1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่เหนือแกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = 5

(2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และทับแกน x มีสมการเป็น y = 0

(3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่ใต้แกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = -5

2. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y

กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน x และกำหนดให้เส้นตรง Lตัดกับแกน x ที่จุด (a, 0)

ถ้า a > 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางขวาของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย

ถ้า a = 0 เส้นตรง L จะทับแกน y

ถ้า a < 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางซ้ายของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย

สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ x = a

ตัวอย่างเช่น

(1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางขวาของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = 5

(2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และทับแกน y มีสมการเป็น x = 0

(3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางซ้ายของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = -5

3. สมการของกราฟเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y

กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y มีความชัน = m และผ่านจุด (x1, y1)

จากรูปให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง L

∴ ความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด (x1, y1) และ (x, y) เท่ากับ

∴ = m   y - y1 = m(x - x 1)

ดังนั้นสมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชัน m และผ่านจุด (x1, y1) คือ y - y1 = m(x - x 1)

ตัวอย่างเช่น

(1) สมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ และผ่านจุด (1, 2) คือ

y - 2 = (x-1)

หรือ 2x - 3y +4 = 0

สมการ

1. สมการ     สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ (=)
          ตัวอย่าง   ก. 3 + 4 = 7           ข. 9 – 3 = 6
     อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย < , > , ≠
          ตัวอย่าง   ก. 3 + 4  <  8         ข. 9 – 3 > 4          ค. 9 – 5 ≠  6
2. สมการที่เป็นจริง
     สมการที่เป็นจริง เป็นสมการซึ่งมีจำนวนที่อยู่ซ้ายมือของเครื่องหาย = มีค่าเท่ากันกับจำนวนที่อยู่ขวามือ
     ตัวอย่าง   ก. 134 + 40 = 174          ข. 139 -  30 = 109
                  ค. 40 x 40 = 1,600          ง. 12 ÷ 6 = 2
3. สมการที่เป็นเท็จ
     สมการที่เป็นเท็จ เป็นสมการซึ่งมีจำนวนที่อยู่ซ้ายมือของเครื่องหมาย = มีค่าไม่เท่ากันกับจำนวนที่อยู่ขวามือ
     ตัวอย่าง  ก.  104 + 10 = 116          ข. 130 – 30 = 101
                 ค. 40 x 40 = 1,601           ง. 12 ÷ 6 = 5
4. สมการที่มีตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว
     สมการที่มีตัวไม่ทราบค่า เป็นสมการที่มีสัญลักษณ์อื่น ๆ นอกจากตัวเลขอยู่ในสมการนั้น ๆ ซึ่งเรียกว่าสัญลักษณ์นั้นว่าตัวไม่ทราบค่าซึ่งตัวไม่ทราบค่าจะใช้เป็น สัญลักษณ์แบบใดก็ได้ เช่น ก. ค. A, °
     ตัวอย่าง  ก. 34 + A = 170  ตัวไม่ทราบค่า คือ A  
                 ข. ต – 30  = 109  ตัวไม่ทราบค่า คือ ต
5. การแก้สมการที่มีตัวไม่ทราบค่าหนึ่งตัว
     คำตอบของสมการ คือ จำนวนที่แทนตัวไม่ทราบค่าในสมการแล้วทำให้เป็นจริง เราเรียกจำนวนนั้นว่า คำตอบของสมการ
     ตัวอย่าง  ก. 14 + A = 20 คำตอบของสมการ คือ 6
                 ข. ต – 30 = 50 คำตอบของสมการ คือ 80
                 ค. 20 x A = 100 คำตอบของสมการ คือ 5

ที่มา : สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน